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本書為面向高等學校經管類專業(yè)學生的數(shù)學基礎教材，全面、系統(tǒng)地論述了概率與數(shù)理統(tǒng)計的概念、方法、理論及其在經濟管理等方面的應用。全書共分為8章，由概率論和數(shù)理統(tǒng)計兩大部分組成。概率論部分包括：?隨機事件及其概率、隨機變量及其概率分布、多維隨機變量及其分布、隨機變量的數(shù)字特征、大數(shù)定律和中心極限定理。數(shù)理統(tǒng)計部分包括：?數(shù)理統(tǒng)計的基本概念、參數(shù)估計、假設檢驗。每章都配有一定數(shù)量的習題，習題分為A、B兩類，A類是基本知識的訓練，B類是稍微有點難度的綜合訓練題。

張軍艦，男，教授，理學博士，博士生導師。目前兼任中國現(xiàn)場統(tǒng)計研究會常務理事以及其下多個二級學會的常務理事或理事，全國工業(yè)統(tǒng)計學教學研究會常務理事，全國工業(yè)統(tǒng)計學教學研究會民族統(tǒng)計及數(shù)據科學分會副會長。主要從事統(tǒng)計學及其應用的教學與研究工作。近年來先后主持國家項目4項、省項目3項。

第0 章引言. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1

第I 部分概率論

第1 章概率論中的基本概念. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1 概率的定義. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1.1 主觀概率. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1.2 隨機試驗與隨機事件. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10

1.1.3 概率的統(tǒng)計定義. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.1.4 古典概率. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.1.5 幾何概率. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.1.6 概率的公理化定義和性質. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22

1.2 條件概率與事件獨立. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.2.1 條件概率的定義. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.2.2 乘法公式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.2.3 事件的獨立性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.2.4 伯努利（Bernoulli）概型. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.3 全概率公式與貝葉斯公式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.3.1 基本問題. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.3.2 全概率公式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.3.3 貝葉斯公式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

習題1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

第2 章一維隨機變量及其分布. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46

2.1 隨機變量的概念. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46

2.2 隨機變量的分布函數(shù). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.3 離散型隨機變量. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .50

2.3.1 離散型隨機變量的概率分布列. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.3.2 常見離散型隨機變量. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .53

2.4 連續(xù)型隨機變量. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57

2.4.1 連續(xù)型隨機變量的概率密度函數(shù). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2.4.2 常用的連續(xù)型隨機變量. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .60

2.5 隨機變量函數(shù)的分布. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

2.5.1 離散型隨機變量函數(shù)的分布. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .70

2.5.2 連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .71

習題2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

第3 章多維隨機變量及其分布. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .78

3.1 二維隨機變量及其分布函數(shù). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3.1.1 二維隨機變量的定義及分布函數(shù). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3.1.2 二維離散型隨機變量. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .80

3.1.3 二維連續(xù)型隨機變量. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .82

3.1.4 多維隨機變量及其分布. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .85

3.2 邊緣分布和條件分布. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

3.2.1 邊緣分布. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

3.2.2 條件分布. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

3.3 隨機變量間的獨立性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

3.4 二維隨機變量的函數(shù)的分布. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

3.4.1 二維離散型隨機變量的函數(shù)的分布. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

3.4.2 二維連續(xù)型隨機變量的函數(shù)的分布. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

習題3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

第4 章隨機變量的數(shù)字特征. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

4.1 數(shù)學期望. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

4.1.1 數(shù)學期望的定義. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

4.1.2 數(shù)學期望的性質. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

4.1.3 常見一維隨機變量的數(shù)學期望. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .113

4.2 方差與標準差. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

4.2.1 定義. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

4.2.2 方差的性質. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

4.2.3 常見的一維隨機變量的方差. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .120

4.3 協(xié)方差和相關系數(shù). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

4.3.1 協(xié)方差的定義. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

4.3.2 協(xié)方差的性質. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

4.3.3 相關系數(shù)的定義與性質. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

4.3.4 切比雪夫不等式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

4.4 隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

4.4.1 隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

4.4.2 矩. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

4.5 隨機變量的其他數(shù)字特征. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

4.5.1 變異系數(shù). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

4.5.2 分位數(shù). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

習題4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

第5 章大數(shù)定律和中心極限定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

5.1 大數(shù)定律. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

5.1.1 伯努利大數(shù)定律. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

5.1.2 其他常見的大數(shù)定律. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

5.2 中心極限定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

5.2.1 基本問題. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

5.2.2 基本定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

5.2.3 二項分布的正態(tài)近似. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

習題5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

第II 部分數(shù)理統(tǒng)計

第6 章數(shù)理統(tǒng)計的基本概念. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

6.1 數(shù)理統(tǒng)計的基本概念. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

6.1.1 什么是數(shù)理統(tǒng)計學. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

6.1.2 總體與樣本. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

6.1.3 統(tǒng)計量. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

6.2 三大分布. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

6.2.1 χ2 分布. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

6.2.2 t 分布. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .165

6.2.3 F 分布. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

6.3 正態(tài)總體的常用抽樣分布. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

6.3.1 抽樣分布. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

6.3.2 正態(tài)總體樣本均值與樣本方差的分布. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

6.3.3 一般總體抽樣分布的極限分布. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .170

習題6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

第7 章參數(shù)估計. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

7.1 點估計. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .173

7.1.1 點估計的概念. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

7.1.2 評價估計量的標準. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

7.2 點估計的常用方法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

7.2.1 矩估計法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

7.2.2 極（最）大似然估計法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

7.3 置信區(qū)間. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

7.3.1 區(qū)間估計的定義和步驟. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

7.3.2 正態(tài)總體的置信區(qū)間. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

習題7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

第8 章假設檢驗. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

8.1 基本問題. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

8.2 基本概念和檢驗步驟. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

8.2.1 原假設和備擇假設. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

8.2.2 檢驗統(tǒng)計量和拒絕域. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

8.2.3 兩類錯誤和顯著性水平. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

8.2.4 p 值. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

8.2.5 假設檢驗的步驟. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

8.3 單個正態(tài)總體的假設檢驗. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

8.3.1 引例. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

8.3.2 均值的檢驗. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

8.3.3 方差的檢驗. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

8.4 兩個正態(tài)總體的假設檢驗. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

8.4.1 兩個正態(tài)總體均值差的檢驗. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .205

8.4.2 成對數(shù)據檢驗. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

8.4.3 兩個正態(tài)總體方差比的F 檢驗. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .209

習題8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

第9 章方差分析與回歸分析. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

9.1 方差分析. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

9.1.1 基本問題. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

9.1.2 單因子方差分析. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

9.2 回歸分析. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

9.2.1 基本問題. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

9.2.2 變量間的關系. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

9.2.3 一元線性回歸模型. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

9.2.4 回歸系數(shù)的最小二乘估計. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

9.2.5 回歸方程的顯著性檢驗. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

9.2.6 估計和預測. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

9.3 一元非線性回歸分析. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

習題9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

主要參考文獻. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

近年來，隨著人工智能等新興技術的快速推進，統(tǒng)計學與數(shù)據科學得到了快速的發(fā)展.作為統(tǒng)計學與數(shù)據科學的一門基礎課，“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”扮演著至關重要的角色，更需要緊跟時代的發(fā)展，在經典理論的基礎上，深入挖掘其精神實質和思想方法，成為素質公民必備的能力之一.

本書全面、系統(tǒng)地論述了“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”的基本概念、方法、理論及其在經濟管理等方面的應用. 全書分9 章，由概率論和數(shù)理統(tǒng)計兩大部分組成. 概率論部分包括：概率論中的基本概念、一維隨機變量及其分布、多維隨機變量及其分布、隨機變量的數(shù)字特征、大數(shù)定律和中心極限定理. 數(shù)理統(tǒng)計部分包括：數(shù)理統(tǒng)計的基本概念、參數(shù)估計、假設檢驗、方差分析與回歸分析. 每章配有一定數(shù)量的習題，習題分為A、B 兩類，A 類是基本

知識的訓練題，B 類是稍微有點難度的綜合訓練題.

本書基于筆者多年講授“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”課程的實踐經驗，在注重知識和思想來龍去脈、結合經管類等專業(yè)的具體生活和實踐應用實例的基礎上編著而成. 書中盡可能避免較煩瑣的理論證明，強調借助現(xiàn)代信息技術來完成復雜計算. 希望為讀者充當概率統(tǒng)計知識的“導游”，力求為廣大讀者普及基本的概率統(tǒng)計知識，為他們進一步深造打好概率統(tǒng)計基礎，提高其概率統(tǒng)計的科學素養(yǎng).

本書適合高等院校經濟管理、社會科學等非數(shù)學專業(yè)的學生和教師使用，對理工科各專業(yè)學生、教師和科技工作者也有較好的參考作用.

本書由黃文韜教授倡導和組織，張軍艦教授具體負責組織團隊編寫. 具體編寫分工如下：引言和第1 章由張軍艦負責，第2 章由唐美燕負責，第3 章由晏振負責，第4 章和第5 章由黃遠敏負責，第6 章和第7 章由黃恒振負責，第8 章和第9 章由賴廷煜負責. 該書初稿的格式和版面設計、文字輸入由賴廷煜帶領相關研究生完成，這些研究生主要有：彭高波、張闖、王夢曦、伍鵬威、詹長超、李涵博. 本書在編寫過程中，也得到了廣西師范大

學數(shù)學與統(tǒng)計學院和廣西師范大學出版社的大力支持，特別是肖慧敏編輯及其團隊的辛苦付出. 在此對上述有貢獻的老師和學生一并表示衷心感謝.

本書課件和擴展資源等輔助教學內容將在后續(xù)不斷完善，有需要的讀者可與作者聯(lián)系.

雖然編寫組的各位老師做了許多努力，但鑒于水平有限和成書時間倉促，書中難免有不足之處，懇請同行和讀者批評指正.

編者

2025 年3 月于雁山

本書為面向高等學校經管類專業(yè)學生的數(shù)學基礎教材，全面、系統(tǒng)地論述了概率與數(shù)理統(tǒng)計的概念、方法、理論及其在經濟管理等方面的應用。

近年來，隨著大數(shù)據、互聯(lián)網、物聯(lián)網、云計算、人工智能等新興技術的發(fā)展，“數(shù)據”已成為與勞動力、土地、資本、技術并列的生產要素. 當下，數(shù)字化、數(shù)據化、數(shù)智化等不斷推進，我國的新產業(yè)、新業(yè)態(tài)、新模式發(fā)展迅猛，數(shù)據作為形成新質生產力的優(yōu)質生產要素，已經得到廣泛的認可，正在為中國經濟注入新動能，成為科技創(chuàng)新的突破口. 作為統(tǒng)計學和數(shù)據科學的一門基礎課，“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”扮演著至關重要的角色，更需要緊跟時代的發(fā)展；其基本思想和方法，也必將成為素質公民必備的能力之一.

概率論是研究隨機現(xiàn)象數(shù)量規(guī)律，即隨機現(xiàn)象相關的數(shù)量模型（概率分布）及其性質的一門學科，是近代數(shù)學的重要分支之一. 數(shù)理統(tǒng)計是以概率論為基礎，主要研究隨機現(xiàn)象的數(shù)據搜集、整理和統(tǒng)計推斷的學科，它偏重分析實際問題，并對所研究問題做出有效的結論.

我們生活的世界是一個充滿混沌和復雜性的系統(tǒng)， 未知的、 變化的東西太多太多，我們無時無刻不面對具有不確定性的現(xiàn)象（即隨機現(xiàn)象）. 從擲硬幣、擲骰子和摸撲克等簡單的機會游戲，到復雜的社會現(xiàn)象；從嬰兒的誕生，到世間萬物的繁衍生息；從流星殞落，到大自然的千變萬化；等等，各種料想不到的突發(fā)偶然因素， 常常使結果充滿了不確定性.這種不確定性體現(xiàn)在多個層面， 從日常生活到國際視野， 我們面臨著各種無法預測和控

制的變量. 疫情、 戰(zhàn)爭、 自然災害等意外事件的發(fā)生讓人們普遍感受到自己被巨大的無力感捕獲， 被彌漫的悲傷和焦慮吞噬. 美國歷史學家特奧菲洛·魯伊斯的《歷史的恐怖：西方文明中生活的不確定性》[1] 指出， “不確定性”成為描述當下世界最重要的關鍵詞， 并且正是人類生活“確定”的常態(tài). 此外， 科學世界觀也強調不確定性是事物本性的一部分，科學不能為所有問題提供完整的答案. 我們對事物或世界運行原理的認識要受到多個不確定因素的限制， 對所有影響事物的因素認識不充分， 對這些因素觀察的次數(shù)不足， 觀察的精確度不夠， 缺少將所有信息有效整合的適當模型， 沒有足夠的能力計算這些模型等.但我們不能消極對待不確定性，我們得設法適應這種不確定性， 通過理性思考重新聚焦自己的處境，在一定條件或范圍內探索這些不確定性所呈現(xiàn)的大數(shù)據規(guī)律，積極應對生活中的不確定性.